Question

7．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足（2b-c）cosA-acosC=0．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，△ABC的面積為$\sqrt{3}$，求b，c．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：由已知及正弦定理，三角函數恒等變換的應用，化簡可得cosA，結合范圍A∈（0，π），由特殊角的三角函數值即可得解A的值．
法二：由已知及余弦定理，整理可求cosA，結合范圍A∈（0，π），由特殊角的三角函數值即可得解A的值．
（Ⅱ）利用三角形面積公式可求bc的值，進而利用余弦定理可求b²+c²=8，聯立即可得解b，c的值．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）法一：
由（2b-c）cosA-acosC=0及正弦定理得（2sinB-sinC）cosA-sinAcosC=0，
所以2sinBcosA-sin（A+C）=0，…（2分）
因為sinB=sin（A+C）＞0，
所以$sinB（2cosA-1）=0，\;\;cosA=\frac{1}{2}$，…（4分）
因為A∈（0，π），所以$A=\frac{π}{3}$．…（6分）
法二：
由（2b-c）cosA-acosC=0及余弦定理得$（2b-c）•\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}-a•\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=0$，
整理得b²+c²-a²=bc，…（2分）
從而$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{1}{2}$，…（4分）
因為A∈（0，π），所以$A=\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）△ABC的面積$S=\frac{1}{2}bcsinA=\sqrt{3}$，故bc=4．…（8分）
而a²=b²+c²-2bccosA=4，
故b²+c²=8，…（10分）
所以b=c=2．…（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，三角函數恒等變換的應用，特殊角的三角函數值，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．