Question

20．等差數(shù)列{a_n}的前3項(xiàng)和S₃=9，且a₁、a₂、a₅成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）已知數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增，T_n為數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和，若T_n≤λa_n+1對一切n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)等差等比數(shù)列得出性質(zhì)運(yùn)用方程組得出a₁=1，d=2，或a_n=3，d=0，求解即可得出通項(xiàng)公式．
（II）根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性得出a_n=2n-1，裂項(xiàng)法求解T_n，分離參數(shù)得出$λ≥\frac{n}{（2n+1）^{2}}$=$\frac{1}{4m+\frac{1}{n}+4}$，運(yùn)用對鉤函數(shù)的單調(diào)性求解．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)a_n=a₁+（n-1）d，S_n=na₁+$\frac{n（n-1）d}{2}$，由S₃=9，a₁+d=3，
∵a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，
∴a₁（a₁+4d）=（a₁+4d）²
∴a₁=1，d=2，或a_n=3，d=0
故a_n=2n-1，S_n=n²，或a_n=3，S_n=3n，
（Ⅱ）∵$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2n+1}$）
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$$-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$$-\frac{1}{2n+1}$）
∴T_n=$\frac{n}{2n+1}$，T_n≤λa_n+1對n∈N^*恒成立    
∴$\frac{n}{2n+1}$≤λ（2n+1），$λ≥\frac{n}{（2n+1）^{2}}$=$\frac{1}{4n+\frac{1}{n}+4}$
∵4n$+\frac{1}{n}$在[1，+∞） 單調(diào)遞增，$\frac{1}{4n+\frac{1}{n}+4}$在[1，+∞） 單調(diào)遞減；
∴n=1時，$\frac{1}{4n+\frac{1}{n}+4}$最大值為$\frac{1}{9}$；
∴$λ≥\frac{1}{9}$，即λ最小值為$\frac{1}{9}$．

點(diǎn)評 本題綜合考查了數(shù)列的性質(zhì)公式，裂項(xiàng)法求解數(shù)列的和，不等式的恒成立，分離參數(shù)求解問題，綜合性較大，屬于中檔題．