Question

15．已知F為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點，a為雙曲線虛軸的一個頂點，過點F、A的直線與雙曲線的一條漸近線在y軸右側(cè)的交點為B，若$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{2}$-1）$\overrightarrow{AF}$，則此雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 設(shè)F（c，0），A（0，b），漸近線方程為y=$\frac{a}$x，求出AF的方程與y=$\frac{a}$x，聯(lián)立可得B，利用$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{2}$-1）$\overrightarrow{AF}$，可得a，c的關(guān)系，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)F（c，0），A（0，b），漸近線方程為y=$\frac{a}$x，則
直線AF的方程為$\frac{x}{c}+\frac{y}=1$，與y=$\frac{a}$x聯(lián)立可得B（$\frac{ac}{c+a}$，-$\frac{bc}{c+a}$），
∵$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{2}$-1）$\overrightarrow{AF}$，
∴（$\frac{ac}{c+a}$，-$\frac{bc}{c+a}$-b）=（$\sqrt{2}$-1）（c，-b），
∴c=（$\sqrt{2}$+1）$\frac{ac}{c+a}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查向量知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．