Question

5．已知g（x）=bx²+cx+1，f（x）=x²+ax-lnx+1，g（x）在x=1處的切線為y=2x．
（1）求b，c的值；
（2）若a=-1，求f（x）的極值；
（3）設(shè)h（x）=f（x）-g（x），是否存在實數(shù)a，當x∈（0，e]（e≈2.718為自然常數(shù)）時，函數(shù)h（x）的最小值為3，若存在，請求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）g'（x）=2bx+c在x=1處的切線為y=2x，所以g'（1）=2，又在x=1處y=2，所以g（1）=2．可解得函數(shù)解析式．
（2）對f（x）求導(dǎo)，列表得到極值點，求出極值．
（3）構(gòu)造新函數(shù)，對新函數(shù)進行求導(dǎo)，得出極值，即得到最小值，按照參數(shù)a的范圍進行討論．

解答 解：（1）g'（x）=2bx+c在x=1處的切線為y=2x，所以g'（1）=2，又在x=1處y=2，所以g（1）=2．
故$\left\{\begin{array}{l}{2b+c=2}\\{b×{1}^{2}×1+1=2}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=0}\end{array}\right.$所以g（x）=x²+1．
（2）當a=-1時，f（x）=x²-x-lnx+1，定義域為（0，+∞）
f'（x）=2x-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-x-1}{x}=\frac{（x-1）（2x+1）}{x}$

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↓	極小值f（1）	↑

由表格可知，當x=1時，函數(shù)f（x）有極小值f（x）_極小值=f（1）=1
（3）因為f（x）=x²+ax-lnx+1，g（x）=x²+1
所以h（x）=f（x）-g（x）=x²+ax-lnx+1-（x²+1）=ax-lnx，
假設(shè)存在實數(shù)a，使得h（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，h'（x）=a-$\frac{1}{x}$，
①當a≤0時，h'（x）＜0，所以h（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，h（x）_min=h（e）=ae-1=3，a=$\frac{4}{e}$（舍去）；
②當a＞0時，h'（x）=$\frac{a（x-\frac{1}{a}）}{x}$
1°，當$0＜a≤\frac{1}{e}$時，$\frac{1}{a}≥e$，h'（x）＜0在（0，e]上恒成立．
所以h（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，h（x）_min=h（e）=ae-1=3，a=$\frac{4}{e}$（舍去）；
2°，當$a＞\frac{1}{e}$時，$0＜\frac{1}{a}＜e$，當$0＜x＜\frac{1}{a}$時，h'（x）＜0，所以h（x）在（$0，\frac{1}{a}$）上遞減，

當$\frac{1}{a}＜x＜e$時，h'（x）＞0，h（x）在（$\frac{1}{a}，e$）上遞增，
所以h（x）_min=h（$\frac{1}{a}$）=1+lna=3，a=e²，滿足條件；
綜上可知，存在a=e²使得x∈（0，e]時h（x）有最小值3．

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)在極值中的應(yīng)用和含參數(shù)的函數(shù)最值的應(yīng)用，屬中檔題目．