Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-（a+1）x（a∈R）
（1）當(dāng)a=0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a＞-1時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值且最大值大于-2時(shí)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出f（x）的最大值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=lnx-x，定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=$\frac{1-x}{x}$，
i）當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
ii）當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；
綜上所述：函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
（2）函數(shù)f（x）=lnx-（a+1）x（a∈R）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=$\frac{1-（a+1）x}{x}$，
當(dāng)a＞-1時(shí)，a+1＞0，令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{a+1}$，
i）當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{a+1}$時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
ii）當(dāng)x＞$\frac{1}{a+1}$時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減．
得：f（x）_max=f（$\frac{1}{a+1}$）=ln$\frac{1}{a+1}$-1＞-2，
即ln（a+1）＜1，
∴a+1＜e，∴-1＜a＜e-1，
故a的取值范圍為（-1，e-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．