14．三棱錐M-ABC的三側(cè)棱兩兩垂直，底面ABC內(nèi)一點(diǎn)N到三個(gè)側(cè)面的距離分別為$2\sqrt{2}，4，5$，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)M和N的所有球中，體積最小的球的表面積為49π．

分析 根據(jù)題意，點(diǎn)Q到三個(gè)側(cè)面的垂線與側(cè)棱PA、PB、PC圍成一個(gè)棱長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$、4、5的長(zhǎng)方體，分析可知以PQ為直徑的球是它的外接球，此時(shí)過(guò)點(diǎn)P和Q的所有球中，表面積最小的球，即可求解

解答 解：根據(jù)題意：點(diǎn)Q到三個(gè)側(cè)面的垂線與側(cè)棱PA、PB、PC圍成一個(gè)棱長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$、4、5的長(zhǎng)方體，內(nèi)部圖形如圖．
則其外接球的直徑即為PQ且為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，過(guò)點(diǎn)P和Q的所有球中，此時(shí)外接球的表面積最小，
此時(shí)，長(zhǎng)方體對(duì)角線即為球的直徑，∴2R=$\sqrt{{4}^{2}+{5}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}=7$、
由球的表面積公式得：S=4πR2=49π，
故答案為：49π．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間幾何體的構(gòu)造和組合體的基本關(guān)系．判斷長(zhǎng)方體的對(duì)角線是過(guò)P和Q的所有球中，最小的球是解題的關(guān)鍵．屬于中檔題

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

20．如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB=2，AD=DC=1，圖中圓弧所在圓的圓心為點(diǎn)C，半徑為$\frac{1}{2}$，且點(diǎn)P在圖中陰影部分（包括邊界）運(yùn)動(dòng)．若$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{BC}$，其中x，y∈R，則4x-y的最大值為（　�。�
A．$3-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$B．$3+\frac{{\sqrt{5}}}{2}$C．2D．$3+\;\frac{{\sqrt{17}}}{2}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

1．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-（a+1）x（a∈R）
（1）當(dāng)a=0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a＞-1時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值且最大值大于-2時(shí)，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

2．如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=2$\sqrt{3}$，AA1=$\sqrt{3}$，AD⊥DC，AC⊥BD，垂足為E，
（Ⅰ）求證：BD⊥A1C；
（Ⅱ）求二面角A1-BD-C1的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

9．已知函數(shù)$f（x）=sin（ωx+\frac{π}{6}）+ω（ω＞0）$的部分圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)判斷錯(cuò)誤的是（　�。�
A．|MN|=πB．$f（\frac{7π}{3}）=2$C．$f（x）+f（-x-\frac{π}{3}）=1$D．$f（\frac{π}{3}-x）=f（\frac{π}{3}+x）$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

19．已知A，B，C不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)O，若$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+（$\frac{1}{4}$-λ）$\overrightarrow{OB}$+（λ+$\frac{1}{4}$）$\overrightarrow{OC}$成立，則“λ=1”是“P，A，B，C四點(diǎn)共面”的（　�。�
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既非充分也非必要條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

6．已知a，b，c分別是△ABC中角A，B，C的對(duì)邊，G是△ABC的三條邊上中線的交點(diǎn)，若$\overrightarrow{GA}+（a+b）\overrightarrow{GB}+2c\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow 0$，且$\frac{1}{a}+\frac{4}$≥m+c恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　�。�
A．$（-∞，\frac{17}{2}]$B．$（-∞，\frac{13}{2}]$C．$[\frac{13}{2}，+∞）$D．$[\frac{17}{2}，+∞）$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，AB長(zhǎng)為$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．   
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓上存在一點(diǎn)P，使得$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，求直線l的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

4．已知集合M={x|y=ln（x2-3x-4）}，N={y|y=2x-1}，則M∩N等于（　�。�
A．{x|x＞4}B．{x|x＞0}C．{x|x＜-1}D．{x|x＞4或x＜-1}

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同步練習(xí)冊(cè)答案