Question

8．在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且$\sqrt{3}$a=2csinA．
（1）求角C的大小；
（2）若c=$\sqrt{7}$，a+b=5，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡已知的等式，根據(jù)sinA不為0求出sinC的值，由C為銳角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
（2）由C的度數(shù)求出sinC與cosC的值，利用余弦定理列出a與b的關(guān)系式，將已知a+b=5兩邊平方，整理得到另一個關(guān)系式，聯(lián)立兩式求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答 解：（1）由正弦定理有：$\sqrt{3}$sinA=2sinAsinC，又sinA≠0，即sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵在銳角△ABC中，∠C為銳角，
則∠C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosC=$\frac{1}{2}$，c=$\sqrt{7}$，a+b=5，
∴由余弦定理及已知條件得c²=a²+b²-2abcosC，即a²+b²-ab=7…①，
由a+b=5平方可，化簡得：a²+b²=25-2ab…②，
聯(lián)立①②可得ab=6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{6\sqrt{3}}{4}$．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵，屬于基本知識的考查．