Question

18．已知：$\overrightarrow{a}$=（2sinx，2cosx），$\overrightarrow$=（cosx，-cosx），f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$．
（1）若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$共線，且x∈（$\frac{π}{2}$，π），求x的值；
（2）求函數(shù)f（x）的周期；
（3）若對任意x∈[0，$\frac{π}{2}$]不等式m-2≤f（x）≤m+$\sqrt{2}$恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運用共線的向量的性質(zhì)得出$\frac{2sinx}{cosx}$=$\frac{2cosx}{-cosx}$即tanx=-1，結(jié)合x∈（$\frac{π}{2}$，π），求解x的值．
（2）化簡得出f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）-1，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)得出周期，T═$\frac{2π}{|ω|}$
（3）根據(jù)x的范圍得出$-\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{4}$）≤1，確定-2$≤f（x）≤\sqrt{2}-1$，利用最大值，最小值問題求解得出只需$\left\{\begin{array}{l}{m-2≤-2}\\{m+\sqrt{2}≥\sqrt{2}-1}\end{array}\right.$  成立即可．

解答 解：（1）∵x∈（$\frac{π}{2}$，π），∴cosx≠0
又∵$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$共線∴$\frac{2sinx}{cosx}$=$\frac{2cosx}{-cosx}$即tanx=-1  
∵x∈（$\frac{π}{2}$，π），∴x=$π-\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$；        
（2）f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=2sinxcosx-2cos²x=sin2x-cos2x-1         
=$\sqrt{2}$（sin2x$•\frac{\sqrt{2}}{2}$-cos2x$•\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）-1     
故函數(shù)f（x）的周期T=$\frac{2π}{2}$=π 
（3）∵0$≤x≤\frac{π}{2}$   
∴$-\frac{π}{4}$$≤2x-\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$  
∴$-\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{4}$）≤1 
∴-2$≤\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$-1$≤\sqrt{2}-1$，
即-2$≤f（x）≤\sqrt{2}-1$     
要使不等式m-2≤f（x）$≤m+\sqrt{2}$，
對任意x$∈[0，\frac{π}{2}$]上恒成立，
必須且只需$\left\{\begin{array}{l}{m-2≤-2}\\{m+\sqrt{2}≥\sqrt{2}-1}\end{array}\right.$，
即-1≤m≤0．

點評 本題綜合考察了三角函數(shù)的性質(zhì)，考察了平面向量的運用，不等式恒成立問題，屬于中檔題．