Question

12．已知函數(shù)f（x）=x²+（a-4）x+3-a
（1）若f（x）在區(qū)間[0，1]上不單調(diào)，求a的取值范圍；
（2）若對于任意的a∈（0，4），存在x₀∈[0，2]，使得|f（x₀）|≥t，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由二次函數(shù)f（x）=x²+（a-4）x+3-a的對稱軸，并結合條件，即可得到對稱軸滿足的關系式，解之即得實數(shù)a的取值范圍；
（2）由a的范圍即可得到對稱軸落在（0，2）內(nèi)，得到函數(shù)在（0，2）上先減后增，分類討論即可得到函數(shù)的最值，依據(jù)題意即可求出t的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²+（a-4）x+3-a的對稱軸為x=-$\frac{a-4}{2}$，
（1）由于已知f（x）在區(qū)間[0，1]上不單調(diào)，
則0＜-$\frac{a-4}{2}$＜1，解得2＜a＜4，
（2）由于a∈（0，4），則x=-$\frac{a-4}{2}$∈（0，2），
故函數(shù)f（x）=x²+（a-4）x+3-a在[0，2]的最小值為$-\frac{（a-2）^{2}}{4}$∈（-1，0），
①當-$\frac{a-4}{2}$∈[1，2），即0＜a≤2時，
函數(shù)f（x）=x²+（a-4）x+3-a（x∈[0，2]）在x=0時取得最大值，
且最大值為3-a，
由于此時0＜a≤2，則1≤3-a＜3；
②當-$\frac{a-4}{2}$∈（0，1），即2＜a＜4時，
函數(shù)f（x）=x²+（a-4）x+3-a（x∈[0，2]）在x=2時取得最大值，
且最大值為2²+2（a-4）+3-a=a-1，
由于此時2＜a＜4，則1＜a-1＜3；
綜上可知，函數(shù)f（x）在[0，2]上滿足0≤|f（x）|＜3，
故若對于任意的a∈（0，4），存在x₀∈[0，2]，使得|f（x₀）|≥t，
則t的取值范圍為{t|t≤1}．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，不等式恒成立問題的轉化，屬于綜合題，有一定的難度．