Question

7．某程序每運(yùn)行一次都隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)五位的二進(jìn)制數(shù)，其中A的各位數(shù)字中，a₁=1，且a_k（k=2，3，4，5）為0和1的概率分別是$\frac{1}{4}$和$\frac{3}{4}$．記ξ=$\sum_{i=1}^{5}{a}_{i}$，當(dāng)程序運(yùn)行一次時(shí)：
（Ⅰ）求ξ=3的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意得：P（ξ=3）=${C}_{4}^{2}•（\frac{1}{4}）^{2}•（\frac{3}{4}）^{2}$，由此能求出ξ=3的概率．
（Ⅱ）由題設(shè)知，ξ的可能取值為1，2，3，4，5，分別求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），P（ξ=5），由此能求出ξ的概率分布列和Eξ．

解答 解：（Ⅰ）由題意得：P（ξ=3）=${C}_{4}^{2}•（\frac{1}{4}）^{2}•（\frac{3}{4}）^{2}$=$\frac{27}{128}$．
（Ⅱ）由題設(shè)知，ξ的可能取值為1，2，3，4，5，
且P（ξ=1）=${C}_{4}^{0}•（\frac{1}{4}）^{4}$=$\frac{1}{256}$，
P（ξ=2）=${C}_{4}^{1}•（\frac{1}{4}）^{3}•\frac{3}{4}$=$\frac{12}{256}$，
P（ξ=3）=$\frac{54}{256}$，
P（ξ=4）=${C}_{4}^{3}•\frac{1}{4}•（\frac{3}{4}）^{3}$=$\frac{108}{256}$，
P（ξ=5）=${C}_{4}^{4}•（\frac{3}{4}）^{4}$=$\frac{81}{256}$，
故ξ的概率分布列為：

ξ	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{256}$	$\frac{12}{256}$	$\frac{54}{256}$	$\frac{108}{256}$	$\frac{81}{256}$

∴Eξ=1×$\frac{1}{256}$+2×$\frac{12}{256}$+3×$\frac{54}{256}$+4×$\frac{108}{256}$+5×$\frac{81}{256}$=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意概率知識(shí)的靈活運(yùn)用．