Question

【題目】在四棱錐中，平面平面，底面為矩形，，，，、分別為線段、上一點，且，.

（1）證明：；

（2）證明：平面，并求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）1.

【解析】

（1）推導出AM⊥AD，從而AM⊥平面ABCD，由此能證明AM⊥BD；（2）推導出CE＝ND，BC∥AD，EN∥AB，FN∥AM，從而平面ENF∥平面MAB，進而EF∥平面MAB，由VD﹣AEF＝VF﹣ADE，能求出三棱錐D﹣AEF的體積．

（1）∵AM＝AD＝3，MD＝3，

∴AM2+AD2＝MD2，∴AM⊥AD，

∵平面MAD⊥平面ABCD，平面MAD∩平面ABCD＝AD，

∴AM⊥平面ABCD，

又BD平面ABCD，∴AM⊥BD．

（2）在棱AD上取一點N，使得ND＝1，

∵CE＝1，∴CE＝ND，又BC∥AD，

∴ECND，又AB∥CD，∴EN∥AB，

∵＝，∴FN∥AM，

∵FN∩EN＝N，∴平面ENF∥平面MAB，又EF平面ENF，

∴EF∥平面MAB，

∵AM⊥平面ABCD，且FD＝MD，AM＝3，

∴F到平面ABCD的距離d＝，

∴VD﹣AEF＝VF﹣ADE＝＝1．