Question

3．從年級(jí)抽取了21名考生在11月，02月兩次月考的某科成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，考生成績(jī)均在[50，100]之間，發(fā)現(xiàn)這兩次成績(jī)高度正相關(guān)，考生成績(jī)分布莖葉圖如圖：

記每位考生的11月成績(jī)?yōu)閤_i，12月成績(jī)?yōu)閥_i，統(tǒng)計(jì)出：$\sum_{i=1}^{21}{x_i}=1575，\frac{1}{21}\sum_{i=1}^{21}{x_i^2}=5741，\sum_{i=1}^{21}{y_i}=1554，\frac{1}{21}\sum_{i=1}^{21}{{x_i}{y_i}}=5666$
由于統(tǒng)計(jì)老師的疏忽，統(tǒng)計(jì)表放在辦公室被小貓抓壞，造成12月成績(jī)中部分成績(jī)莖葉圖損壞（如圖：
圖中陰影區(qū)域），不知道統(tǒng)計(jì)人數(shù)和具體分?jǐn)?shù)．憑記憶，知道12月成績(jī)前三個(gè)分?jǐn)?shù)段人數(shù)成等比數(shù)列，
后三個(gè)分?jǐn)?shù)段人數(shù)成等差數(shù)列．
（1）求12月成績(jī)?cè)?0分?jǐn)?shù)段的人數(shù)，及12月成績(jī)的樣本中位數(shù)；
（2）計(jì)算兩次月考成績(jī)的回歸方程，并預(yù)估11月考試成績(jī)?yōu)?8分的考生，在12月考試中的成績(jī)．
注：$\widehat$=$\frac{{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{{x_1}{y_1}-\overline{xy}}}}{{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_1^2-{{（{\overline x}）}^2}}}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$，74²=5476，75²=5625，76²=577674•75=5550，75•76=5700．

Answer 1

分析 （1）利用12月成績(jī)前三個(gè)分?jǐn)?shù)段人數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)分?jǐn)?shù)段人數(shù)成等差數(shù)列，即可求12月成績(jī)?cè)?0分?jǐn)?shù)段的人數(shù)，及12月成績(jī)的樣本中位數(shù)；
（2）利用公式求出b，a，可得線性回歸方程，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵后三個(gè)分?jǐn)?shù)段人數(shù)成等差數(shù)列，
∴后三個(gè)分?jǐn)?shù)段人數(shù)為8，5，2，
前兩個(gè)分?jǐn)?shù)段6人，
∵前三個(gè)分?jǐn)?shù)段人數(shù)成等比數(shù)列，
∴前兩個(gè)分?jǐn)?shù)段人數(shù)分別為2，4，60分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為4，12月成績(jī)的樣本中位數(shù)為74；
（2）$\widehat$=$\frac{5666-75•74}{5741-7{5}^{2}}$=1，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=74-75=-1，
∴y=x-1
∴x=88，y=87．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性回歸方程，考查莖葉圖，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．