Question

8．在△ABC中，已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)（不包括邊界），證明：S_△PAB•$\overrightarrow{PC}$+S_△PBC•$\overrightarrow{PA}$+S_△PCA•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{0}$．

Answer 1

分析 可畫出圖形，連接AP并延長(zhǎng)交BC于D，連接BP交AC于E，連接CP交AB于F，然后過(guò)A作BE的平行線，交CF的延長(zhǎng)線于M，作CF的平行線，交BE延長(zhǎng)線于N，從而得到平行四邊形AMPN，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系可以得到$\frac{AM}{PB}=\frac{AF}{FB}，\frac{AN}{PC}=\frac{AE}{EC}$，從而得到$\overrightarrow{AP}=\frac{AF}{FB}•\overrightarrow{PB}+\frac{AE}{EC}•\overrightarrow{PC}$．可以說(shuō)明S_△PCA：S_△PBC=AF：FB，S_△PAB：S_△PBC=AE：EC，這樣便可得出${S}_{△PAB}•\overrightarrow{PC}+{S}_{△PBC}•\overrightarrow{PA}+{S}_{△PCA}•\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}$．

解答 解：如圖，連接AP，并延長(zhǎng)AP交BC于D，連結(jié)BP并延長(zhǎng)交AC于E，連結(jié)CP并延長(zhǎng)交AB于F，過(guò)A作AM∥BE交CF延長(zhǎng)線于M，作AN∥CF交BE延長(zhǎng)線于N，則四邊形AMPN為平行四邊形；
∴$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}$，且△AMF∽△BPF；
∴$\frac{AM}{PB}=\frac{AF}{FB}$；
同理，$\frac{AN}{PC}=\frac{AE}{EC}$；
∴$\overrightarrow{AM}=\frac{AF}{FB}•\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{AN}=\frac{AE}{EC}•\overrightarrow{PC}$；
∴$\overrightarrow{AP}=\frac{AF}{FB}•\overrightarrow{PB}+\frac{AE}{EC}•\overrightarrow{PC}$；
∵△PCA和△PBC有公共的底邊PC，設(shè)它們的高分別為h₁，h₂，則：
S_△PAC：S_△PBC=h₁：h₂=AF：FB，同理S_△PAB：S_△PBC=AE：EC；
∴$\overrightarrow{AP}=\frac{{S}_{△PAC}}{{S}_{△PBC}}•\overrightarrow{PB}+\frac{{S}_{△PAB}}{{S}_{△PBC}}•\overrightarrow{PC}$；
∴${S}_{△PAB}•\overrightarrow{PC}+{S}_{△PBC}•\overrightarrow{PA}+{S}_{△PCA}•\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}$．

點(diǎn)評(píng) 考查數(shù)形結(jié)合解題的方法，向量加法的平行四邊形法則，相似三角形的判斷及對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系，向量數(shù)乘的幾何意義，以及三角形的面積公式，向量的數(shù)乘運(yùn)算．