Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

），給出三個(gè)論斷：
①它的圖象關(guān)于x=

π

8

對(duì)稱；
②它的最小正周期為π；
③它在區(qū)間[

π

4

，

3π

8

]上的最大值為

2

．
以其中的兩個(gè)論斷作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，試寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題并給予證明．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的對(duì)稱性,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由①②可以推出③，證明：由②求得ω=2；再由①求得φ=

π

4

，函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

4

），區(qū)間[

π

4

，

3π

8

]上，根據(jù)2x+

π

4

∈[

3π

4

，π]，可得當(dāng)2x+

π

4

=

3π

4

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為

2

，從而得到③成立．

解答： 解：由①②可以推出③．
證明：對(duì)于函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

），由②它的最小正周期為π，可得

2π

ω

=π，∴ω=2．
再由①它的圖象關(guān)于x=

π

8

對(duì)稱，可得2×

π

8

+φ=kπ+

π

2

，k∈z，求得φ=kπ+

π

4

．
再結(jié)合-

π

2

＜φ＜

π

2

，可得φ=

π

4

，∴函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

4

），
區(qū)間[

π

4

，

3π

8

]上，根據(jù)2x+

π

4

∈[

3π

4

，π]，可得當(dāng)2x+

π

4

=

3π

4

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為

2

，
故③正確．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．