Question

已知?jiǎng)訄AP與圓F₁：x²+（y+2）²=

121

4

內(nèi)切，與圓F₂：x²+（y-2）²=

1

4

外切，記動(dòng)圓圓心點(diǎn)P的軌跡為E．
（Ⅰ）求軌跡E的方程；
（Ⅱ）若直線l過(guò)點(diǎn)F₂且與軌跡E相交于P、Q兩點(diǎn)．
（i）設(shè)點(diǎn)M（0，m），問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)m，使得直線l繞點(diǎn)F₂無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，都有

MP

•

MQ

=0成立？若存在，求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（ii）設(shè)△F₁PQ的內(nèi)切圓半徑為r，求r的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（I）由動(dòng)圓P與圓F₁：x²+（y+2）²=

121

4

內(nèi)切，與圓F₂：x²+（y-2）²=

1

4

外切，動(dòng)圓圓心點(diǎn)P的軌跡為E滿足：

11

2

-|PF₁|=|PF2|-

1

2

，可得|PF₁|+|PF₂|=6＞|F₁F₂|=4．可得動(dòng)圓圓心點(diǎn)P的軌跡為：以點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，6為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓．即可得出．
（II）（i）不存在實(shí)數(shù)m，使得直線l繞點(diǎn)F₂無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，都有能

MP

•

MQ

=0成立．因?yàn)槿≈本�l為y軸時(shí)，MP與MQ共線，不可能

MP

•

MQ

=0成立．
（ii）當(dāng)PQ⊥y軸時(shí)，△F₁PQ的內(nèi)切圓半徑r取得最大值．利用三角形的面積的計(jì)算公式即可得出（I）由動(dòng)圓P與圓F₁：x²+（y+2）²=

121

4

內(nèi)切，與圓F₂：x²+（y-2）²=

1

4

外切，動(dòng)圓圓心點(diǎn)P的軌跡為E滿足：

11

2

-|PF₁|=|PF2|-

1

2

，可得|PF₁|+|PF₂|=6＞|F₁F₂|=4．可得動(dòng)圓圓心點(diǎn)P的軌跡為：以點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，6為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓．即可得出．

解答： 解：（I）∵動(dòng)圓P與圓F₁：x²+（y+2）²=

121

4

內(nèi)切，與圓F₂：x²+（y-2）²=

1

4

外切，動(dòng)圓圓心點(diǎn)P的軌跡為E滿足：

11

2

-|PF₁|=|PF2|-

1

2

，化為|PF₁|+|PF₂|=6＞|F₁F₂|=4．
∴動(dòng)圓圓心點(diǎn)P的軌跡為：以點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，6為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓．
b²=3²-2²=5．
∴橢圓的方程為：

y2

9

+

x2

5

=1．
（II）（i）不存在實(shí)數(shù)m，使得直線l繞點(diǎn)F₂無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，都有

MP

•

MQ

=0成立．因?yàn)槿≈本�l為y軸時(shí)，MP與MQ共線，不可能

MP

•

MQ

=0成立．
（ii）當(dāng)PQ⊥y軸時(shí)，△F₁PQ的內(nèi)切圓半徑r取得最大值．
此時(shí)P(-

5

3

，2)，Q(

5

3

，2)．
S△F1PQ=

1

2

|F1F2|×|PQ|=

1

2

r（|PQ|+2|F₁P|），
∴4×

10

3

=r×(

10

3

+2

42+( 5 3 )2

)，
解得r=

10

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．