Question

9．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x²+（m²-1）x，（x∈R，m＞0），若f（x）有三個互不相同的零點0，x₁，x₂，且x₁＜x₂，若對任意x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． $（{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$
• B． $（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$
• C． $（{\frac{1}{2}，1}）$
• D． $（{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1}）$

Answer 1

分析 通過討論x₁，x₂的范圍，結(jié)合題意屬于區(qū)間[x₁，x₂]的點的函數(shù)值均大于f（1），由此計算m的范圍．

解答 解：由題設，f（x）=x（-$\frac{1}{3}$x²+x+m²-1）=-$\frac{1}{3}$x（x-x₁）（x-x₂），
∴方程-$\frac{1}{3}$x²+x+m2-1=0有兩個相異的實根x₁，x₂，
故x₁+x₂=3，且△=1+$\frac{4}{3}$（m²-1）＞0，∵m＞0
解得m＞$\frac{1}{2}$，
∵x₁＜x₂，所以2x₂＞x₁+x₂=3，
故x₂＞$\frac{3}{2}$＞1．（10分）
①當x₁≤1＜x₂時，f（1）=-$\frac{1}{3}$（1-x₁）（1-x₂）≥0，而f（x₁）=0，不符合題意，
②當1＜x₁＜x₂時，對任意的x∈[x₁，x₂]，都有x＞0，x-x₁≥0，x-x₂≤0，
則f（x）=-$\frac{1}{3}$x（x-x₁）（x-x₂）≥0，又f（x₁）=0，所以f（x）在[x₁，x₂]上的最小值為0，
于是對任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立的充要條件是f（1）=m²-$\frac{1}{3}$＜0，
解得-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜m＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
綜上，m的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
故選：A．

點評 本題較為復雜，主要考查了函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)問題，注意掌握知識點間的關(guān)系．