Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為、,橢圓的離心率為,過橢圓的左焦點,且斜率為的直線,與以右焦點為圓心,半徑為的圓相切.

（1）求橢圓的標準方程;

（2）線段是橢圓過右焦點的弦,且,求的面積的最大值以及取最大值時實數的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）最大值,.

【解析】

（1）設,,可得:直線的方程為:,即,直線與圓相切,圓心到直線的距離為,解得,結合已知,即可求得答案.

（2）將直線的方程與橢圓方程聯立,求得,結合導數知識,即可求得答案.

（1）設,,

直線斜率為,且過橢圓的左焦點.

直線的方程為:,即.

直線與圓相切,

圓心到直線的距離為,

解得.

橢圓的離心率為,即,

解得:,

根據:

橢圓的方程為.

（2）由（1）得,,

直線的斜率不為,

設直線的方程為:,

將直線的方程與橢圓方程聯立可得:消掉

可得:,

恒成立,

設,,

則,是上述方程的兩個不等根,

根據韋達定理可得:

,.

的面積:

設,則,,

可得:.

令

恒成立,

函數在上為減函數,故的最大值為:,

的面積的最大值為,

當且僅當,即時取最大值,

此時直線的方程為,即直線垂直于軸,

此時,即.

綜上所述,的面積的最大值,時的面積的最大.