在直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=a，若長為2a的線段PQ以點A為中點，問
PQ
與
BC
的夾角θ取何值時，
BP
•
CQ
的值最大？并求出這個最大值．
考點：平面向量數(shù)量積的運算
專題：計算題,平面向量及應(yīng)用
分析：以直角頂點A為坐標(biāo)原點，兩直角邊所在的直線為坐標(biāo)軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），
則建立
BP
•
CQ
與
PQ
與
BC
的夾角θ的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解．
解答： 解：如圖
以直角頂點A為坐標(biāo)原點，兩直角邊所在的直線為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)|AB|=c，|AC|=b，則A（0，0），B（c，0），C（0，b），且|PQ|=2a，|BC|=a．
設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），
則Q（-x，-y）．
∴
BP
=（x-c，y），
CQ
=（-x，-y-b），
BC
=（-c，b），
PQ
=（-2x，-2y）．
∴
BP
•
CQ
=（x-c）（-x）+y（-y-b）=-（x2+y2）+cx-by．
∵cosθ=
BP
•
CQ
|
BP
||
CQ
|
=
cx-by
a2
，
∴cx-by=a2cosθ．
∴
BP
•
CQ
=-a2+a2cosθ．
故當(dāng)cosθ=1，即θ=0，
PQ
與
BC
的方向相同時，
BP
•
CQ
最大，其最大值為0．
點評：本題考查向量數(shù)量積的計算，函數(shù)思想．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1，x＞1
1-x2
，-1≤x≤1
|x|，x＜-1
，求f（3）+f（-3）f（
1
3
）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
-x-1，(x＜-2)
x+3，(-2≤x≤
1
2
)
5x+1，(x＞
1
2
)
（x∈R），求函數(shù)f（x）的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，已知△AOB中，點C與點B關(guān)于點A對稱，
OD
=2
DB
，DC和OA交于點E，設(shè)O
A
=
a
，
OB
=
b
．
（1）用
a
和
b
表示向量
OC
，
DC
；
（2）若
OE
=
λOA
，求實數(shù)λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知|
a
|=2，|
b
|=3，
a
與
b
的夾角為θ，且tan（
π
4
+θ）=-2-
3
，求
a
•
b
與|
a
-
b
|的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與AA1平行的棱有
 
條．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=f（x）=x2+bx+c的圖象過點（1，13），且函數(shù)y=f(x-
1
2
)是偶函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象上是否存在這樣的點，其橫坐標(biāo)是正整數(shù)，縱坐標(biāo)是一個完全平方數(shù)？如果存在，求出這樣的點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x-alnx，g（x）=
lnx
x
．
（Ⅰ） 若函數(shù)f（x）存在不大于0的最小值，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)x=1是函數(shù)f（x）的極小值點．
（i）若函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的圖象分別在直線y=kx的兩側(cè)，求k的取值范圍；
（ii） 若M（x1，y1），N（x2，y2）（0＜x1＜x2）是f（x）圖象上的兩點，且存在實x0∈（0，+∞）
使得f′（x0）=
f(x2)-f(x1)
x2-x1
，證明：x1＜x0＜x2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)m、n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出下列四個命題：
①若m⊥α，n∥α，則m⊥n； 
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；
③若m⊥α，n⊥α，則m∥n； 
④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β．
其中正確命題的序號是
 
．

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同步練習(xí)冊答案