Question

【題目】某有機(jī)水果種植基地試驗(yàn)種植的某水果在售賣前要成箱包裝，每箱80個(gè)，每一箱水果在交付顧客之前要按約定標(biāo)準(zhǔn)對(duì)水果作檢測(cè)，如檢測(cè)出不合格品，則更換為合格品．檢測(cè)時(shí)，先從這一箱水果中任取10個(gè)作檢測(cè)，再根據(jù)檢測(cè)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有水果作檢測(cè)．設(shè)每個(gè)水果為不合格品的概率都為，且各個(gè)水果是否為不合格品相互獨(dú)立．

(Ⅰ)記10個(gè)水果中恰有2個(gè)不合格品的概率為，求取最大值時(shí)p的值；

(Ⅱ)現(xiàn)對(duì)一箱水果檢驗(yàn)了10個(gè)，結(jié)果恰有2個(gè)不合格，以(Ⅰ)中確定的作為p的值．已知每個(gè)水果的檢測(cè)費(fèi)用為1.5元，若有不合格水果進(jìn)入顧客手中，則種植基地要對(duì)每個(gè)不合格水果支付a元的賠償費(fèi)用．

(ⅰ)若不對(duì)該箱余下的水果作檢驗(yàn)，這一箱水果的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX；

(ⅱ)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，當(dāng)種植基地要對(duì)每個(gè)不合格水果支付的賠償費(fèi)用至少為多少元時(shí)，將促使種植基地對(duì)這箱余下的所有水果作檢驗(yàn)？

Answer 1

【答案】(Ⅰ)0.2 (Ⅱ) (ⅰ) (ⅱ)8

【解析】

(Ⅰ)記10個(gè)水果中恰有2個(gè)不合格品的概率為，求得，利用導(dǎo)數(shù)即可求解函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最值.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，(ⅰ)中，依題意知，，進(jìn)而利用公式，即可求解；

(ⅱ)如果對(duì)余下的水果作檢驗(yàn)，得這一箱水果所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為120元，列出相應(yīng)的不等式，判定即可得到結(jié)論.

(Ⅰ)記10個(gè)水果中恰有2個(gè)不合格品的概率為f(p)，則，

∴，

由，得.

且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

∴的最大值點(diǎn).

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，

(ⅰ)令Y表示余下的70個(gè)水果中的不合格數(shù)，依題意知，

∴.

(ⅱ)如果對(duì)余下的水果作檢驗(yàn)，則這一箱水果所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為120元，

由，得，且，

∴當(dāng)種植基地要對(duì)每個(gè)不合格水果支付的賠償費(fèi)用至少為8元時(shí)，將促使種植基地對(duì)這箱余下的所有水果作檢測(cè)．