【題目】袋中共有8個乒乓球,其中有5個白球,3個紅球,這些乒乓球除顏色外完全相同.從袋中隨機取出一球,如果取出紅球,則把它放回袋中;如果取出白球,則該白球不再放回,并且另補一個紅球放入袋中,重復(fù)上述過程次后,袋中紅球的個數(shù)記為.
(I)求隨機變量的概率分布及數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ)求隨機變量的數(shù)學(xué)期望關(guān)于的表達式.
【答案】(Ⅰ)答案見解析;(Ⅱ).
【解析】分析:(1)由題意得到的所有取值,然后利用古典概型概率計算公式求出概率,則可得出答案;
(2)設(shè),,則則 , ,再把、……、用 表示,得到,從而說明為等比數(shù)列,由等比數(shù)列的通項公式得答案.
解析:(1)由題意可知.
當(dāng)時,即二次摸球均摸到紅球,其概率是;
當(dāng)時,即二次摸球恰好摸到一紅,一白球,其概率 ;
當(dāng)時,即二次摸球球均摸到白白球球其概率是.
所以隨機變量的概率分布如下表:
(一個概率得一分不列表不扣分)
數(shù)學(xué)期望 .
(Ⅱ)設(shè),.
則 , .
,,,,
,.
所以,.
.
由此可知,.
又,所以.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為 .
(Ⅰ)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)已知點,若點的極坐標(biāo)為,直線經(jīng)過點且與曲線相交于兩點,設(shè)線段的中點為,求的值.
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【題目】中國古代名詞“芻童”原來是草堆的意思,古代用它作為長方體棱臺(上、下底面均為矩形額棱臺)的專用術(shù)語,關(guān)于“芻童”體積計算的描述,《九章算術(shù)》注曰:“倍上表,下表從之,亦倍小表,上表從之,各以其廣乘之,并,以高若深乘之,皆六面一.”其計算方法是:將上底面的長乘二,與下底面的長相加,再與上底面的寬相乘;將下底面的長乘二,與上底面的長相加,再與下底面的寬相乘;把這兩個數(shù)值相加,與高相乘,再取其六分之一,以此算法,現(xiàn)有上下底面為相似矩形的棱臺,相似比為,高為3,且上底面的周長為6,則該棱臺的體積的最大值是( )
A. 14 B. 56 C. D. 63
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【題目】在直角坐標(biāo)平面內(nèi),以坐標(biāo)原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)分別求出曲線和直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點在曲線上,且到直線的距離為1,求滿足這樣條件的點的個數(shù).
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【題目】已知橢圓的中心在原點,離心率等于,它的一個短軸端點恰好是拋物線的焦點.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知、是橢圓上的兩點,是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點.
①若直線的斜率為,求四邊形面積的最大值;
②當(dāng)運動時,滿足,試問直線的斜率是否為定值,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0),且f(1).
(1)求證:函數(shù)f(x)有兩個不同的零點;
(2)設(shè)x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個不同的零點,求|x1﹣x2|的取值范圍;
(3)求證:函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個零點.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1:kx-y+4=0與直線l2:x+ky-3=0相交于點P,則當(dāng)實數(shù)k變化時,點P到直線4x-3y+10=0的距離的最大值為( )
A.2B.C.D.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)求曲線在點處的切線方程;
(2)若函數(shù),求的單調(diào)區(qū)間;并證明:當(dāng)時,;
(3)證明:當(dāng)時,函數(shù)有最小值,設(shè)最小值為,求函數(shù)的值域.
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