Question

18．已知中心在坐標原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，且左、右焦點分別為F₁、F₂，這兩條曲線在第一象限的交點為P，△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形，若|PF₁|=10，設橢圓與雙曲線的離心率分別為e₁，e₂，則e₁+e₂的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{5}{4}$，+∞）
• B． （$\frac{4}{3}$，+∞）
• C． （$\frac{3}{2}$，+∞）
• D． （$\frac{5}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 設橢圓和雙曲線的半焦距為c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，（m＞n），由條件可得m=10，n=2c，再由橢圓和雙曲線的定義可得a₁=5+c，a₂=5-c，（c＜5），運用三角形的三邊關系求得c的范圍，再由離心率公式，計算即可得到所求范圍．

解答 解：設橢圓和雙曲線的半焦距為c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，（m＞n），
由于△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形．若|PF₁|=10，
即有m=10，n=2c，
由橢圓的定義可得m+n=2a₁，
由雙曲線的定義可得m-n=2a₂，
即有a₁=5+c，a₂=5-c，（c＜5），
再由三角形的兩邊之和大于第三邊，可得2c+2c＞10，
可得c＞$\frac{5}{2}$，即有$\frac{5}{2}$＜c＜5．
由離心率公式可得e₁+e₂=$\frac{c}{{a}_{1}}$+$\frac{c}{{a}_{2}}$=$\frac{c}{5+c}$+$\frac{c}{5-c}$=$\frac{10c}{25-{c}^{2}}$=$\frac{10}{\frac{25}{c}-c}$，
∵f（x）=$\frac{25}{x}-x$在（$\frac{5}{2}$，5）上是減函數(shù)，
∴0=$\frac{25}{5}-5$＜$\frac{25}{c}-c$＜$\frac{25}{\frac{5}{2}}-\frac{5}{2}$=$\frac{15}{2}$，
∴$\frac{4}{3}$=$\frac{10}{\frac{15}{2}}$＜$\frac{10}{\frac{25}{c}-c}$＜+∞，
故選：B．

點評 本題考查橢圓和雙曲線的定義和性質，考查離心率的求法，考查三角形的三邊關系，考查運算能力，屬于中檔題．