Question

15．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為e，半焦距為c，B（0，1）為其上頂點(diǎn)，且a²，c²，b²，依次成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率e；
（Ⅱ）P，Q為橢圓上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，且．k_BP•k_BQ=e²
（i）試證直線PQ過(guò)定點(diǎn)M，并求出M點(diǎn)坐標(biāo)；
（ii）△PBQ是否可以為直角三角形？若是，請(qǐng)求出直線PQ的斜率；否則請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，b=1，a²+b²=2c²，結(jié)合c²+b²=a²，可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率e；
（Ⅱ）（i）設(shè)直線PQ的方程為x=my+n，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合k_BP•k_BQ=e²，求出m，n的關(guān)系，即可得出直線PQ過(guò)定點(diǎn)M，并求出M點(diǎn)坐標(biāo)；
（ii）確定P或Q在以BM為直徑的圓T，與橢圓方程聯(lián)立，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題意，b=1，a²+b²=2c²，
∵c²+b²=a²，
∴a²=3，c²=2，
∴$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（Ⅱ）（i）設(shè)直線PQ的方程為x=my+n，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
直線方程代入橢圓方程可得（3+m²）y²+2mny+n²-3=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{2mn}{3+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{{n}^{2}-3}{3+{m}^{2}}$，
∴k_BP•k_BQ=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=e²=$\frac{2}{3}$，
整理可得n²-2mn-3m²=0
∴n=-m或n=3m，
∴直線PQ的方程為x=my-m=m（y-1）（舍去）或x=my+3m=m（y+3），
∴直線PQ過(guò)定點(diǎn)（0，-3）；
（ii）由題意，∠PBQ≠90°，若∠BPM=90°或∠BQM=90°，則P或Q在以BM為直徑的圓T上，即在圓x²+（y+1）²=4上，與橢圓方程聯(lián)立得y=0或1（舍去），
∴P或Q只可以的橢圓的左右頂點(diǎn)，
∴直線PQ的斜率為±$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線過(guò)定點(diǎn)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．