Question

若已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為6-12t，公差為6的等差數(shù)列；數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n=3ⁿ-t．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．試證明：對(duì)于任意的n（n∈N^*，n≥1），均存在正整數(shù)c_n，使得b_n+1=a_cn，并求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為6-12t，公差為6的等差數(shù)列，可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，利用S_n=3ⁿ-t，再寫一式，即可求出{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先確定t的值，可得數(shù)列的通項(xiàng)，要使bn+1=acn成立，則bn+1=2×3n=6cn-12，利用cn=3n-1+2，而對(duì)任意的n（n∈N^*，n≥1），3^n-1+2為正整數(shù)，利用數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)論．

解答： （1）解：∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∴a_n=（6-12t）+6（n-1）=6n-12t
而數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為Sn=3n-t．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，bn=(3n-t)-(3n-1-t)=2×3n-1
∴bn=

3-t，n=1 2×3n-1，n≥2

（2）證明：∵數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，∴3-t=2×3^1-1=2，∴t=1
∴a_n=6n-12，bn=2×3n-1
而bn+1=2×3n，acn=6cn-12，
要使bn+1=acn成立，則bn+1=2×3n=6cn-12，
∴cn=3n-1+2，而對(duì)任意的n（n∈N^*，n≥1），3^n-1+2為正整數(shù)
∴對(duì)任意的n（n∈N^*，n≥1），均存在正整數(shù)c_n，使得bn+1=acn成立．
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和Tn=2n+

1×(1-3n)

1-3

=

3n-1

2

+2n

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確應(yīng)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)鍵．