Question

如圖所示，用籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，假設(shè)墻有足夠長．
（1）若籬笆的總長為40米，則這個矩形的長、寬各為多少米時，菜園的面積最大？
（2）若菜園的面積為32平方米，則這個矩形的長、寬各為多少米時，籬笆的總長最短？

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)籬笆的總長為40米，可得x+2y=40，利用基本不等式，即可求面積的最值；
（2）由條件知S=xy=32，l=x+2y，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)矩形菜園的一邊長為xm，矩形菜園的另一邊長為ym，
（1）由題知x+2y=40，…（2分）
由于x+2y≥2

x•2y

=2

2xy

，
∴S=xy≤200，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時等號成立．         …（4分）
由

x+2y=40 x=2y

⇒

x=20 y=10

故這個矩形的長為20m，寬為10m時，菜園的面積最大為200m²．…（6分）       
（2）由條件知S=xy=32，l=x+2y．
∵x+2y≥2

2xy

=16，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時等號成立．        …（10分）
由

x=2y xy=32

⇒

x=8 y=4

故這個矩形的長為8m、寬為4m時，可使籬笆的總長最短．   …（12分）

點(diǎn)評：本題考查基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力．