Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{{x}^{3}+3，x≤0}\end{array}\right.$，則關(guān)于x的方程f（2x²+x）=k（2＜k≤3）的根的個(gè)數(shù)不可能為（　　）

• A． 6
• B． 5
• C． 4
• D． 3

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{{x}^{3}+3，x≤0}\end{array}\right.$ 的圖象，令t=2x²+x，分類討論求得y=a與y=f（t）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
可得結(jié)論．

解答 解：畫出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{{x}^{3}+3，x≤0}\end{array}\right.$ 的圖象如右圖，
令t=2x²+x，
當(dāng)2＜a≤3時(shí)，y=a與y=f（t）的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為t₁，t₂，t₃且t₁≤0＜t₂＜t₃，
當(dāng)2x²+x=t₂時(shí)，該方程有兩解，2x²+x=t₃時(shí)，
該方程也有兩解．
當(dāng)2x²+x=t₁時(shí)，該方程有0個(gè)解或1個(gè)解或2個(gè)解，
∴當(dāng)2＜a≤3時(shí)，方程f（2x²+x）=a的根的個(gè)數(shù)可能
為4個(gè)，5個(gè)，6個(gè)．
當(dāng)a＞3時(shí)，y=a與y=f（t）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為t₄，t₅且0＜t₄＜t₅，
當(dāng)2x²+x=t₄時(shí)，該方程有兩解，2x²+x=t₅時(shí)，該方程也有兩解，
∴當(dāng)a＞3時(shí)，方程f（2x²+x）=a的根的個(gè)數(shù)為4個(gè)．
綜上所述：方程f（2x²+x）=a（a＞2）的根的個(gè)數(shù)可能為4個(gè)，5個(gè)，6個(gè)，
不可能是3個(gè)，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．