Question

8．已知a，b均為正整數(shù)，圓x²+y²-2ax+a²（1-b）=0與圓x²+y²-2y+1-a²b=0外切，則ab的最小值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 通過圓的位置關(guān)系，推出ab關(guān)系，然后利用基本不等式求出最值即可．

解答 解：圓x²+y²-2ax+a²（1-b）=0的圓心（a，0），半徑：$a\sqrt$；
圓x²+y²-2y+1-a²b=0的圓心（0，1），半徑：$a\sqrt$；
兩個圓外切，可得a²+1=4a²b，
可得ab=$\frac{{a}^{2}+1}{4a}$=$\frac{a}{4}+\frac{1}{4a}$≥$2\sqrt{\frac{a}{4}•\frac{1}{4a}}$=$\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時等號成立．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力．