Question

20．如圖，⊙O₁與⊙O₂交于C、D兩點(diǎn)，AB為⊙O₁的直徑，連接AC并延長交⊙O₂于點(diǎn)E，連接AD并延長交⊙O₂于點(diǎn)F，連接FE并延長交AB的延長線于點(diǎn)G．
（Ⅰ）求證：GF⊥AG；
（Ⅱ）過點(diǎn)G作⊙O₁的切線，切點(diǎn)為H，若G、C、D三點(diǎn)共線，GE=1，EF=6，求GH的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用四點(diǎn)共圓證明：∠GEC=∠ABC，進(jìn)一步證明∠EGA=90，即可證明GF⊥AG；
（Ⅱ）利用切割線定理可得GH²=GE•GF，即可求出GH．

解答 （Ⅰ）證明：連接BC，GD，則
因?yàn)锳B為⊙O₁的直徑，
所以∠ACB=90°，
所以∠ABC+∠CAB=90°，
由A，B，C，D四點(diǎn)共圓，得∠ABC=∠FDC；
由C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，得∠GEC=∠FDC，
所以∠GEC=∠ABC，
所以∠GEC+∠CAB=90°，
所以∠EGA=90°
所以GF⊥AG；
（Ⅱ）解：因?yàn)镚H為⊙O₁的切線，GCD為⊙O₁的割線，
所以GH²=GC•GD，
因?yàn)镚CD，GEF為⊙O₂的割線，
所以GC•GD=GE•GF，
所以GH²=GE•GF，
所以GH=$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評 本題考查四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，考查切割線定理，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．