Question

12．已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD為正方形，頂點S在底面ABCD上的射影為其中心O，高為$\sqrt{3}$，設(shè)E、F分別為AB、SC的中心，且SE=2，M為CD邊上的點．
（1）求證：EF∥平面SAD；
（2）試確定點M的位置，使得平面EFM⊥底面ABCD．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明EF∥平面SAD；
（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理建立方程關(guān)系即可確定點M的位置．

解答 解：（1）取SD的中點G，連結(jié)AG，F(xiàn)G，則FG∥CD∥AE，F(xiàn)G=AE，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$CD，
∴AEFG為平行四邊形，
∴AG∥EF，AG=EF，
∵AG?平面SAD，
∴EF∥平面SAD．
（2）連結(jié)AC與BD相交于點O，取OC的中點H，連結(jié)SO，F(xiàn)H，EH，
延長EH交CD于M，
則SO⊥底面ABCD，
FH∥S0，
∴FH⊥底面ABCD，
∴平面EFM⊥底面ABCD，
由AB∥CM知，$\frac{CM}{AE}=\frac{CH}{AH}=\frac{1}{3}$，
∴MC=$\frac{1}{3}AE=\frac{1}{6}AB=\frac{1}{6}CD$，
即當(dāng)M位于CD的$\frac{1}{6}$處（距C）時，平面EFM⊥底面ABCD．

點評 本題主要考查空間線面平行或面面垂直的判定，利用相應(yīng)的判定定理是解決本題的關(guān)鍵．