Question

已知P是橢圓

x2

4

+y²=1上的一點，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的左、右焦點．
（1）當∠F₁PF₂=60°時，求△PF₁F₂的面積；
（2）當∠F₁PF₂為鈍角時，求點P的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,解三角形,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）運用橢圓的定義和余弦定理及面積公式，即可求得；
（2）設p（x，y），根據(jù)橢圓方程求得兩焦點坐標，根據(jù)∠F₁PF₂是鈍角推斷出PF₁²+PF₂²＜F₁F₂²代入p坐標求得x和y的不等式關系，求得x的范圍．

解答： （1）解：∵橢圓的方程為

x2

4

+y²=1，
∴a=2，b=1，c=

3

．
又∵P為橢圓上一點，∠F₁PF₂=60°，F(xiàn)₁、F₂為左右焦點，
∴|F₁P|+|PF₂|=2a=4，|F₁F₂|=2

3

，
∴|F₁F₂|²=（|PF₁|+|PF₂|）²-2|F₁P||PF₂|-2|F₁P|•|PF₂|cos60°
=16-3|F₁P|•|PF₂|=12，
∴|F₁P|•|PF₂|=

4

3

．
∴S△PF₁F₂=

1

2

|F₁P|•|PF₂|sin60°
=

1

2

×

4

3

×

3

2

=

3

3

；
（2）設p（x，y），則 F₁（-

3

，0），F(xiàn)₂（

3

，0），
且∠F₁PF₂是鈍角，PF₁²+PF₂²＜F₁F₂²即（x+

3

）²+y²+（x-

3

）²+y²＜12，
?x²+3+y²＜6，即x²+（1-

x2

4

）＜3即x²＜

8

3

．即-

2 6

3

＜x＜

2 6

3

．
故點P的橫坐標的取值范圍（-

2 6

3

，

2 6

3

）．

點評：本題主要考查了橢圓的定義和方程及簡單性質和解不等式，考查余弦定理和面積公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．