Question

5．若二次函數(shù)f（x）滿足f（1）=f（3）=3，且它的圖象與x軸相交于A，B兩點，且|AB|=4．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在區(qū)間[m，4]上的值域為[-5，4]，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先由已知確定函數(shù)圖象的對稱軸，設出函數(shù)的頂點式，將已知中的點代入可得函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)f（x）在區(qū)間[m，4]上的值域為[-5，4]，結合二次函數(shù)的圖象和性質，可得m的值．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）中，f（1）=f（3），
∴函數(shù)的對稱軸為x=2
∵圖象與x軸兩交點間距離為4，
∴二次函數(shù)圖象與x軸兩交點坐標為（0，0）與（4，0），
設拋物線解析式為y=a（x-2）²+m，
∵f（0）=0，f（1）=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}4a+m=0\\ a+m=3\end{array}\right.$，
∴a=-1，m=4，
∴f（x）=-（x-2）²+4．
（2）∵函數(shù)f（x）=-（x-2）²+4的圖象是開口朝下，且以x=2為對稱軸的拋物線，
故當x=2時，函數(shù)取最大值4，
令f（x）=-（x-2）²+4=-5，則x=5，或x=-1，
∵f（x）在區(qū)間[m，4]上的值域為[-5，4]，
∴m=-1．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質，是解答的關鍵．