5.若二次函數(shù)f(x)滿足f(1)=f(3)=3,且它的圖象與x軸相交于A,B兩點,且|AB|=4.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在區(qū)間[m,4]上的值域為[-5,4],求m的值.

分析 (1)先由已知確定函數(shù)圖象的對稱軸,設出函數(shù)的頂點式,將已知中的點代入可得函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)f(x)在區(qū)間[m,4]上的值域為[-5,4],結合二次函數(shù)的圖象和性質,可得m的值.

解答 解:(1)∵二次函數(shù)f(x)中,f(1)=f(3),
∴函數(shù)的對稱軸為x=2
∵圖象與x軸兩交點間距離為4,
∴二次函數(shù)圖象與x軸兩交點坐標為(0,0)與(4,0),
設拋物線解析式為y=a(x-2)2+m,
∵f(0)=0,f(1)=3,
∴$\left\{\begin{array}{l}4a+m=0\\ a+m=3\end{array}\right.$,
∴a=-1,m=4,
∴f(x)=-(x-2)2+4.
(2)∵函數(shù)f(x)=-(x-2)2+4的圖象是開口朝下,且以x=2為對稱軸的拋物線,
故當x=2時,函數(shù)取最大值4,
令f(x)=-(x-2)2+4=-5,則x=5,或x=-1,
∵f(x)在區(qū)間[m,4]上的值域為[-5,4],
∴m=-1.

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質,熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質,是解答的關鍵.

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