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【題目】已知正整數n都可以唯一表示為 ①的形式，其中m為非負整數，（，），.試求①中的數列嚴格單調遞增或嚴格單調遞減的所有正整數n的和.

【答案】

【解析】

設A和B分別表示①中數列嚴格單調遞增和遞減的所有正整數構成的集合.符號S（M）表示數集M中所有數的和，并將滿足①式的正整數記為.

把集合A分成如下兩個不交子集和.

我們有.

對任意，令，則是到的雙射.

由此得，從而.

又對任意，令，

則g是B到的雙射，其中.

因為

所以B中共有個元素，因此

.

又令表示A中最高位數的正整數全體，A中其余的數和零所構成的集合記為，

則.

對任意，令

則是B到的雙射，其中.

所以 .

最后對任意，令.

則是到B的雙射，其中.

所以

.

于是，

解之得，.

由于A和B中都含有1，2，…，8，因此所求正整數的和等于.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】現對某市工薪階層關于“樓市限購令”的態(tài)度進行調查，隨機抽調了50人，他們月收入的頻數分布及對“樓市限購令”贊成人數如下表.

月收入(單位百元)

頻數

5

10

15

10

5

5

贊成人數

4

8

12

5

2

1

(1)由以上統(tǒng)計數據填下面2×2列聯(lián)表，并問是否有99％的把握認為“月收入以5500元為分界點對“樓市限購令”的態(tài)度有差異；

月收入不低于55百元的人數

月收入低于55百元的人數

合計

贊成

a=______________

c=______________

______________

不贊成

b=______________

d=______________

______________

合計

______________

______________

______________

(2)試求從年收入位于（單位：百元）的區(qū)間段的被調查者中隨機抽取2人，恰有1位是贊成者的概率。

參考公式：，其中.

參考值表：

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在多面體中，均垂直于平面，，，，.

（1）過的平面與平面垂直，請在圖中作出截此多面體所得的截面，并說明理由；

（2）若，，求多面體的體積.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設橢圓（）的左、右焦點為，右頂點為，上頂點為．已知．

（1）求橢圓的離心率；

（2）設為橢圓上異于其頂點的一點，以線段為直徑的圓經過點，經過原點的直線與該圓相切，求直線的斜率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知動點M到定點F1（-2，0）和F2（2，0）的距離之和為．

（1）求動點M軌跡C的方程；

（2）設N（0，2），過點P（-1，-2）作直線l，交橢圓C于不同于N的A，B兩點，直線NA，NB的斜率分別為k1，k2，問k1+k2是否為定值？若是的求出這個值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在梯形CDEF中，四邊形ABCD為正方形，且，將沿著線段AD折起，同時將沿著線段BC折起，使得E，F兩點重合為點P．

求證：平面平面ABCD；

求直線PB與平面PCD的所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如今我們的互聯(lián)網生活日益豐富，除了可以很方便地網購，網絡外賣也開始成為不少人日常生活中不可或缺的一部分市某調查機構針對該市市場占有率最高的兩種網絡外賣企業(yè)以下簡稱外賣A、外賣的服務質量進行了調查，從使用過這兩種外賣服務的市民中隨機抽取了1000人，每人分別對這兩家外賣企業(yè)評分，滿分均為100分，并將分數分成5組，得到以下頻數分布表：

分數

人數

種類

外賣A

50

150

100

400

300

外賣B

100

100

300

200

300

表中得分越高，說明市民對網絡外賣服務越滿意若得分不低于60分，則表明該市民對網絡外賣服務質量評價較高現將分數按“服務質量指標”劃分成以下四個檔次：

分數

服務質量指標

0

1

2

3

視頻率為概率，解決下列問題：

從該市使用過外賣A的市民中任選5人，記對外賣A服務質量評價較高的人數為X，求X的數學期望．

從參與調查的市民中隨機抽取1人，試求其評分中外賣A的“服務質量指標”與外賣B的“服務質量指標”的差的絕對值等于2的概率；

在M市工作的小王決定從外賣A、外賣B這兩種網絡外賣中選擇一種長期使用，如果從這兩種外賣的“服務質量指標”的期望角度看，他選擇哪種外賣更合適？試說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標平面上的一列點簡記為，若由構成的數列滿足，（其中是與軸正方向相同的單位向量），則稱為“點列”.

（1）試判斷：，...是否為“點列”？并說明理由.

（2）若為“點列”，且點在點的右上方.任取其中連續(xù)三點，判斷的形狀（銳角，直角，鈍角三角形），并證明.

（3）若為“點列”，正整數滿足：，且，求證：.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知是由非負整數組成的無窮數列，對每一個正整數，該數列前項的最大值記為，第項之后各項的最小值記為，記．

（1）若數列的通項公式為，求數列的通項公式；

（2）證明：“數列單調遞增”是“”的充要條件；

（3）若對任意恒成立，證明：數列的通項公式為．

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