【題目】如圖,在多面體中,均垂直于平面,,,,.
(1)過的平面與平面垂直,請在圖中作出截此多面體所得的截面,并說明理由;
(2)若,,求多面體的體積.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】
(1)取的中點,連接,則平行四邊形即為所求的截面.然后根據(jù)空間中的線面關(guān)系可證得平面平面即可.(2)利用分割或補(bǔ)形的方法可求得多面體的體積.
(1)取的中點,連接,則平行四邊形即為所求的截面.
理由如下:
因為均垂直于平面,
所以,
因為,,
所以四邊形為梯形.
又分別為中點,
所以,,
所以,,
所以為平行四邊形,
因為,為中點,
所以.
又平面,平面,
所以.
又,
所以平面
又平面,
所以平面平面,
所以平行四邊形即為所作的截面.
(2)法一:過點作于點.
因為平面,平面,
所以,
又,平面,
所以平面
在中,,,,
得,
所以,
因為,
所以,
,
所以.
法二:將多面體補(bǔ)成直三棱柱,
其中,,,,
則
在中,,,,
得,
所以,
所以,
所以.
法三:在多面體中作直三棱柱,
則,
在中,,,,
得,
所以,
設(shè)邊上的高為,
則,
因為平面,平面,
所以,
又,平面,
所以平面.
所以,
,
所以.
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