Question

19．給出下列命題
①若奇函數(shù)f（x）對定義域R內(nèi)任意x都有f（x）=f（2-x），則f（x）為周期函數(shù)
②根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可以判定方程e^x-x-6=0的一個根所在的區(qū)間為（1，2）

x	-1	0	1	2	3
ex	0.37	1	2.72	7.39	20.09
x+6	5	6	7	8	9

③已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時f（x）=e^x-ax，若f（x）在R上有且只有4個零點，則a的取值范圍為（e，+∞）
④實數(shù)a在區(qū)間（1，4）上隨機取值時，函數(shù)f（x）=-x²+ax+2在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)的概率為$\frac{1}{3}$，其中真命題是①③④．

Answer 1

分析 對于①由f（x+2）=-f（x）可推知f（x+4）=f（x）得證．
對于②根據(jù)函數(shù)零點定理即可判斷．
對于③首先判斷x=0不是零點，其次說明函數(shù)f（x）在x＞0和x＜0上均有兩個零點，對x＞0的函數(shù)f（x）求導，對a討論，說明a≤0不可能，a＞0時，求出單調(diào)區(qū)間，求出極小值，令它小于0，解出a的范圍，
對于④由題意，屬于幾何概型的概率求法，由此只要求出所有事件的區(qū)域長度以及滿足條件的a的范圍對應的區(qū)域長度，利用幾何概型概率公式可求．

解答 解：對于①（1）∵f（x）=f（2-x），∴f（x+2）=f（2-（x+2））=f（-x）=-f（x）
∴f（x+4）=-f（x+2）=-f（-x）=f（x），
∴f（x）是以4為周期的函數(shù)，故正確，
對于②解：令f（x）=e^x-x-6，
由表知f（2）=7.39-8＜0，f（3）=20.09-9＞0，
∴方程e^x-x-6=0的一個根所在的區(qū)間為（2，3），故不正確，
對于③∵當x≥0時，f（x）=e^x-ax，
∴f（0）=e⁰-0=1，即x=0不是零點，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在x＞0和x＜0上有相同的零點個數(shù)，
∵函數(shù)f（x）在R上有且僅有4個零點，
∴f（x）在x＞0上有且只有2個零點，
∵當x≥0時，f（x）=e^x-ax，
導數(shù)f′（x）=e^x-a，
當a≤0時，f′（x）≥0恒成立，
f（x）在x≥0上單調(diào)增，不可能有兩個零點，
當a＞0時，可得f（x）的增區(qū)間為（lna，+∞），減區(qū)間為（-∞，lna），
則f（lna）為極小值，令f（lna）＜0，
即e^lna-alna＜0，即a＜alna，lna＞1，
解得，a＞e，
故a的取值范圍是（e，+∞），故正確，
對于④：∵函數(shù)f（x）=-x²+ax+2在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，
∴≤1，
∴a≤2，
∵實數(shù)a在區(qū)間[1，m]（m＞1）隨機取值，
∴1≤a≤2，長度為1，
∵函數(shù)f（x）=-x²+ax+2在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)的概率為$\frac{1}{3}$，
∴1≤a≤m，長度為3，
∴m=4，
∴a∈（1，4），故正確，
故其中真命題是①③④，
故答案為：①③④

點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性及應用，考查函數(shù)的零點的概念和個數(shù)的判斷，考查運用導數(shù)求函數(shù)的極值，考查幾何概型，考查二次函數(shù)的單調(diào)性弄清極值與0的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．