Question

4．在△ABC中，若AB=2，AC²+BC²=10，則△ABC的面積取最大值時，最大的邊長等于$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由余弦定理和三角形的面積公式可得S²=$\frac{1}{4}$a²b²-$\frac{9}{4}$，進而由基本不等式可得4S²+9=a²b²≤$（\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}）^{2}$=25，由等號成立的條件可得．

解答 解：設(shè)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，
則c=2，a²+b²=10，
由余弦定理可得cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{10-4}{2ab}$=$\frac{3}{ab}$，
∴sin²C=1-cos²C=1-$\frac{9}{{a}^{2}^{2}}$，
又∵三角形的面積S=$\frac{1}{2}$absinC，
∴S²=$\frac{1}{4}$a²b²sin²C=$\frac{1}{4}$a²b²（1-$\frac{9}{{a}^{2}^{2}}$）=$\frac{1}{4}$a²b²-$\frac{9}{4}$，
∴4S²+9=a²b²≤$（\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}）^{2}$=25，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\sqrt{5}$時取等號，此時S²≤4，S≤2，即S取最大值2，
此時最大邊長為$\sqrt{5}$，
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 本題考查基本不等式求最值，涉及余弦定理與三角形面積公式，屬中檔題．