Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x+2π）=f（x），則f（π）+f（2π）+f（3π）+…+f（2012π）=0．

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期是2π，利用函數(shù)的周期性和奇偶性進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵f（x+2π）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是周期為2π的周期函數(shù)，
當(dāng)x=-π時，f（-π+2π）=f（-π），
∴f（π）=f（-π），
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)
∴f（π）=f（-π）=-f（π），
即f（π）=0，且f（0）=0，
則f（π）=f（3π）=…=f（2011π）=0，
f（2π）=f（4π）=…=f（2012π）=0，
即f（π）+f（2π）+f（3π）+…+f（2012π）=0，
故答案為：0．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)值的計算，根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期性，利用函數(shù)的周期性和奇偶性的關(guān)系將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．