Question

10．已知f（x）為定義在[a-1，2a+1]上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=e^x+1，則f（2x+1）＞f（$\frac{x}{2}$+1）的解得取值范圍是（　�。�

• A． [-1，1]
• B． [-1，-$\frac{1}{3}$）
• C． [0，$\frac{8}{9}$]
• D． [-1，-$\frac{4}{5}$）

Answer 1

分析 先根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出a的值，然和根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，再由偶函數(shù)圖象在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上單調(diào)性相反，可得當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）為減函數(shù)，則f（2x+1）＞f（$\frac{x}{2}$+1）可轉(zhuǎn)化為|2x+1|＞|$\frac{x}{2}$+1|，解得x的取值范圍即可．

解答 解：∵f（x）為定義在[a-1，2a+1]上的偶函數(shù)，
∴a-1+2a+1=0，解得：a=0，
故定義域是[-1，1]，
∵當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=1+e^x，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，
則要使f（2x+1）＞f（$\frac{x}{2}$+1），只需|2x+1|＞|$\frac{x}{2}$+1|，
兩邊平方，化簡(jiǎn)得：5x²+4x＞0，解得：x＞0或x＜-$\frac{4}{5}$①，
又$\left\{\begin{array}{l}{-1≤2x+1≤1}\\{-1≤\frac{x}{2}+1≤1}\end{array}\right.$，解得：-1≤x≤0②，
綜合①②得：-1≤x＜-$\frac{4}{5}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)奇偶性的綜合應(yīng)用，及絕對(duì)值不等式的解法，綜合性強(qiáng)，難度中檔．