Question

7．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{|x-1|}-1，x≤2}\\{\frac{1}{2}f（x-2），x＞2}\end{array}\right.$，g（x）=log_ax（a＞1），若F（x）=f（x）-g（x）恰有三個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（4，${e}^{\frac{1}{ln2}}$）∪[16，256]．（ 參考值：ln2≈0.7 ）

Answer 1

分析 由x≤2時(shí)的f（x）解析式，可得當(dāng)2＜x≤4，當(dāng)4＜x≤6的解析式，由題意可得y=f（x）和y=g（x）的圖象有三個(gè)交點(diǎn)．畫出y=f（x）和y=g（x）的圖象，通過圖象觀察即可得到所求范圍．

解答 解：當(dāng)x≤2時(shí)，f（x）=2^|x-1|-1；
當(dāng)2＜x≤4，即0＜x-2≤2時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-2）
=$\frac{1}{2}$（2^|x-3|-1）；
當(dāng)4＜x≤6，即2＜x-2≤4時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-2）
=$\frac{1}{4}$（2^|x-5|-1）；
…，
F（x）=f（x）-g（x）恰有三個(gè)不同零點(diǎn)，
即為y=f（x）和y=g（x）的圖象有三個(gè)交點(diǎn)．
畫出y=f（x）和y=g（x）的圖象，
當(dāng)y=g（x）的圖象通過點(diǎn)（4，$\frac{1}{2}$）時(shí)，
由log_a4=$\frac{1}{2}$，解得a=16，圖象恰好有三個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)y=g（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，$\frac{1}{4}$）時(shí)，
由log_a4=$\frac{1}{4}$，解得a=256，圖象恰好有三個(gè)交點(diǎn)．
由圖象觀察，可得16≤a≤256時(shí)，y=f（x）和y=g（x）都有三個(gè)交點(diǎn)．
由a＞4時(shí)，f（x）與g（x）在x=1處相切，可得g′（x）|_x=1=$\frac{1}{lna}$=ln2，
解得a=${e}^{\frac{1}{ln2}}$．
當(dāng)4＜a＜${e}^{\frac{1}{ln2}}$時(shí)，在（1，2）有交點(diǎn)，即x=1一個(gè)解，（1，2）內(nèi)一個(gè)解，（2，3）內(nèi)有一解，
由4＜a＜${e}^{\frac{1}{ln2}}$，且log_a4＞$\frac{1}{4}$，可得4＜a＜${e}^{\frac{1}{ln2}}$．
故答案為：（4，${e}^{\frac{1}{ln2}}$）∪[16，256]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的圖象及運(yùn)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題．