9.在正方體ABCD-A′B′C′D′中,判斷下列命題是否正確,并說明理由:
(1)直線AC在平面ABCD內(nèi);
(2)設(shè)上下底面中心為O,O′,則平面AA′C′C與平面BB′D′D的交線為OO′.
(3)點(diǎn)A,O,C′可以確定一平面.
(4)平面AB′C′與平面AC′D重合.

分析 (1)由題意可得A,C都在平面ABCD上,即可得解;
(2)利用正方體的性質(zhì)解得O,O′兩點(diǎn)都在平面AA′C′C與平面BB′D′D上,即可得證;
(3)根據(jù)平面公理,“過不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面”,即可得出答案;
(4)由AD∥B′C′,可得A,D,B′,C′四點(diǎn)共面,即可得證.

解答 解:(1)正確,
∵A∈平面ABCD,C∈平面ABCD,
∴AC?平面ABCD.
(2)正確,
∵在正方體ABCD-A′B′C′D′中,AC∩BD=O,A′C′∩B′D′=O′,
∴O∈平面AA′C′C,O′∈平面AA′C′C,O′∈平面BB′D′D,O∈平面BB′D′D,
∴OO′?平面AA′C′C,OO′?平面BB′D′D,
∴平面AA′C′C與平面BB′D′D的交線為OO′.
(3)正確,
∵C′不在直線AO上,
∴點(diǎn)A,O,C′可以確定一平面.
(4)正確,
∵AD∥BC∥B′C′,
∴A,D,B′,C′四點(diǎn)共面,
∴平面AB′C′與平面AC′D重合.

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題真假的判斷,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意平面的基本性質(zhì)及其推論的合理運(yùn)用.

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