Question

16．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽．?a，b∈R，若此函數(shù)同時(shí)滿足：
（i）當(dāng)a+b=0時(shí)，有f（a）+f（b）=0；（ii）當(dāng)a+b＞0時(shí)，有f（a）+f（b）＞0，則稱函數(shù)f（x）為Ω函數(shù)．在下列函數(shù)中是Ω函數(shù)的是（　�。�
①y=x+sinx；②y=3^x-（$\frac{1}{3}$）^x；③y=$\left\{\begin{array}{l}{0，x=0}\\{-\frac{1}{x}，x≠0}\end{array}\right.$．

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 容易判斷函數(shù)①②為奇函數(shù)，且在定義域R上為增函數(shù)，可設(shè)y=f（x），容易得出這兩函數(shù)滿足Ω函數(shù)的兩條，而函數(shù)③是奇函數(shù)，不是增函數(shù)，這樣顯然不能滿足Ω函數(shù)的第②條，這樣即可找出為Ω函數(shù)的函數(shù)序號(hào)．

解答 解：容易判斷①②③都是奇函數(shù)；
y′=1-cosx≥0，y′=ln3（3^x+3^-x）＞0；
∴①②都在定義域R上單調(diào)遞增；
③在定義域R上沒有單調(diào)性；
設(shè)y=f（x），從而對(duì)于函數(shù)①②：a+b=0時(shí)，a=-b，f（a）=f（-b）=-f（b）；
∴f（a）+f（b）=0；
a+b＞0時(shí)，a＞-b；
∴f（a）＞f（-b）=-f（b）；
∴f（a）+f（b）＞0；
∴①②是Ω函數(shù)；
對(duì)于函數(shù)③，a+b＞0時(shí)，得到a＞-b；
∵f（x）不是增函數(shù)；
∴得不到f（a）＞f（-b），即得不出f（a）+f（b）＞0．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)的定義，會(huì)判斷一個(gè)函數(shù)是否為奇函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用，反比例函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性定義．