Question

12．已知命題p：函數(shù)f（x）=x³-（a+1）x-1在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增；命題q：?x₀∈R，x²+2ax+2-a＜0，若p∨q為真，p∧q為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：函數(shù)f（x）=x³-（a+1）x-1在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，求出f′（x）≥0在x∈[0，1]上恒成立，分離變量后利用函數(shù)的單調(diào)性求實(shí)數(shù)a的范圍．求出q是真命題時(shí)，a的范圍，利用復(fù)合命題的真假，判斷求解即可．

解答 解：命題p：函數(shù)f（x）=x³-（a+1）x-1；所以f′（x）=3x²-a-1，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x³-（a+1）x-1在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增；
所以f′（x）=3x²-a-1≥0在x∈[0，1]上恒成立．
即a≤3x²-1，在x∈[0，1]上恒成立．
所以a≤-1．
命題q：∵?x₀∈R，使得x²+2ax+2-a＜0，∴△=4a²-4（2-a）＞0⇒a＞1或a＜-2，
若p∨q為真，p∧q為假，可知兩個(gè)命題一真一假；
p真q假時(shí)：可得a∈[-2，-1]．
q真p假時(shí)：可得a∈（1，+∞）．
實(shí)數(shù)a的取值范圍：[-2，-1]∪（1，+∞）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，訓(xùn)練了利用分離變量法求參數(shù)的范圍，考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，復(fù)合命題的真假的判斷與應(yīng)用，是中檔題．