Question

7．用反證法證明：已知0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1．
求證：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少有一個(gè)不大于$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 首先根據(jù)題意，通過(guò)反證法假設(shè)假設(shè)（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中都大于$\frac{1}{4}$，得出：$\sqrt{（1-a）b}$+$\sqrt{（1-b）c}$+$\sqrt{（1-c）a}$＞$\frac{3}{2}$；然后根據(jù)基本不等式，得出加$\sqrt{（1-a）b}$+$\sqrt{（1-b）c}$+$\sqrt{（1-c）a}$≤$\frac{3}{2}$，相互矛盾，即可證明．

解答 證明：假設(shè)（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中都大于$\frac{1}{4}$，
∴（1-a）b＞$\frac{1}{4}$，（1-b）c＞$\frac{1}{4}$，（1-c）a＞$\frac{1}{4}$，
即$\sqrt{（1-a）b}$＞$\frac{1}{2}$ ①$\sqrt{（1-b）c}$＞$\frac{1}{2}$②$\sqrt{（1-c）a}$＞$\frac{1}{2}$③
①②③相加：$\sqrt{（1-a）b}$+$\sqrt{（1-b）c}$+$\sqrt{（1-c）a}$＞$\frac{3}{2}$
由基本不等式得$\sqrt{（1-a）b}$≤$\frac{1-a+b}{2}$④，$\sqrt{（1-b）c}$$≤\frac{1-b+c}{2}$⑤，$\sqrt{（1-c）a}$≤$\frac{1-c+a}{2}$⑥
④⑤⑥三式相加 $\sqrt{（1-a）b}$+$\sqrt{（1-b）c}$+$\sqrt{（1-c）a}$≤$\frac{3}{2}$
與$\sqrt{（1-a）b}$+$\sqrt{（1-b）c}$+$\sqrt{（1-c）a}$＞$\frac{3}{2}$矛盾．
∴假設(shè)不成立，
∴（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少有一個(gè)不大于$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反證法的應(yīng)用，涉及不等式的證明與基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．