Question

5．對(duì)一切x∈R，|2x+1|+|x+2|≥-a²+4a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 求出|2x+1|+|x+2|的最小值為$\frac{3}{2}$，再解不等式，即可求a的取值范圍．

解答 解：x＜-2時(shí)，|2x+1|+|x+2|=-2x-1-x-2=-3x-3＞3；
-2≤x≤-$\frac{1}{2}$時(shí)，|2x+1|+|x+2|=-2x-1+x+2=-x+1∈[$\frac{3}{2}$，3]；
x＞-$\frac{1}{2}$時(shí)，|2x+1|+|x+2|=2x+1+x+2=3x+3＞$\frac{3}{2}$，
∴|2x+1|+|x+2|的最小值為$\frac{3}{2}$，
∵對(duì)一切x∈R，|2x+1|+|x+2|≥-a²+4a恒成立，
∴$\frac{3}{2}$≥-a²+4a，
∴a≤2-$\frac{\sqrt{10}}{2}$或a≥2+$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求a的取值范圍，考查函數(shù)的最小值，求出|2x+1|+|x+2|的最小值為$\frac{3}{2}$是關(guān)鍵，屬于中檔題．