Question

19．已知橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)分別為A（-2，0），B（2，0），離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求橢圓M的方程；
（2）若F₁，F(xiàn)₂是橢圓M的左，右焦點(diǎn)，以線段F₁F₂為直徑作圓N，點(diǎn)C（C點(diǎn)不同于F₁，F(xiàn)₂，且不在y軸上）為圓N上任一點(diǎn)，直線F₁C與直線x=$\sqrt{3}$交于點(diǎn)R，D為線段RF₂的中點(diǎn)，試判斷直線CD與圓N的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a=2，運(yùn)用離心率公式可得c，由a，b，c的關(guān)系可得b=1，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，求得圓N的半徑，可得圓的方程，求出直線CD的斜率，以及直線OC的斜率，證明它們互為負(fù)倒數(shù)，即可得證．

解答 解：（1）由題意可得a=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以c=$\sqrt{3}$，從而b²=a²-c²=1．
所以橢圓M方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）橢圓M的焦點(diǎn)為F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），
圓N的圓心在原點(diǎn)，半徑為r=$\sqrt{3}$，
所以圓N的方程為x²+y²=3．
設(shè)C（m，n）（m≠0，n≠0），點(diǎn)R的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，t），
因?yàn)镕₁、C、R三點(diǎn)共線，所以$\overrightarrow{{F}_{1}C}$∥$\overrightarrow{{F}_{1}R}$，而$\overrightarrow{{F}_{1}C}$=（m+$\sqrt{3}$，n），$\overrightarrow{{F}_{1}R}$=（2$\sqrt{3}$，t），
所以2$\sqrt{3}$n=t（m+$\sqrt{3}$），即t=$\frac{2\sqrt{3}n}{m+\sqrt{3}}$，
所以點(diǎn)R的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，$\frac{2\sqrt{3}n}{m+\sqrt{3}}$），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}n}{m+\sqrt{3}}$），
所以直線CD的斜率為k=$\frac{n-\frac{\sqrt{3}n}{m+\sqrt{3}}}{m-\sqrt{3}}$=$\frac{（m+\sqrt{3}）n-\sqrt{3}n}{{m}^{2}-3}$=$\frac{mn}{{m}^{2}-3}$．
因?yàn)閙²+n²=3，所以m²-3=-n²，所以k=$\frac{mn}{-{n}^{2}}$=-$\frac{m}{n}$，
又直線OC（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為k_OC=$\frac{n}{m}$，
所以k_OC•k=-1，所以直線CD⊥OC．
所以直線CD與圓N相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式，考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷，注意運(yùn)用直線的斜率公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．