Question

9．設(shè)f（α）=sinⁿα+cosⁿα，n∈{n|n=2k，k∈N₊}
（I）分別求f（α）在n=2，4，6時(shí)的值域；
（Ⅱ）根據(jù)（I）中的結(jié)論，對(duì)n=2k，k∈N₊時(shí)f（α）的取值范圍作出一個(gè)猜想（只需寫出猜想，不必證明）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)n=2時(shí)，由平方關(guān)系求得f（α）=1，得到f（α）的值域?yàn)閧1}；當(dāng)n=4時(shí)，把f（α）變形可得f（α）=$1-\frac{1}{2}si{n}^{2}2α$，得f（α）的值域?yàn)閇$\frac{1}{2}$，1]；當(dāng)n=6時(shí)，f（α）=$1-\frac{3}{4}si{n}^{2}2α$，f（α）的值域?yàn)閇$\frac{1}{4}$，1]．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)論猜想，當(dāng)n=2k，k∈N^*時(shí)，$\frac{1}{{2}^{k-1}}≤f（α）≤1$．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n=2時(shí)，f（α）=sin²α+cos²α=1，∴f（α）的值域?yàn)閧1}；
當(dāng)n=4時(shí)，f（α）=sin⁴α+cos⁴α=$（si{n}^{2}α+co{s}^{2}α）^{2}-2si{n}^{2}αco{s}^{2}α=1-\frac{1}{2}si{n}^{2}2α$，
此時(shí)有$\frac{1}{2}≤$f（α）≤1，∴f（α）的值域?yàn)閇$\frac{1}{2}$，1]；
當(dāng)n=6時(shí)，f（α）=sin⁶α+cos⁶α=（sin²α+cos²α）（sin⁴α+cos⁴α-sin²αcos²α）
=$1-3si{n}^{2}αco{s}^{2}α=1-\frac{3}{4}si{n}^{2}2α$，
此時(shí)有$\frac{1}{4}≤$f（α）≤1，∴f（α）的值域?yàn)閇$\frac{1}{4}$，1]．
（Ⅱ）由以上結(jié)論猜想，當(dāng)n=2k，k∈N^*時(shí)，$\frac{1}{{2}^{k-1}}≤f（α）≤1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)最值的求法，考查三角函數(shù)的值域，訓(xùn)練了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是中檔題．