Question

6．已知圓錐的母線長為20cm，則當(dāng)其體積最大時(shí)，其側(cè)面積為（　�。�

• A． $\frac{800\sqrt{6}π}{3}$cm²
• B． $\frac{400\sqrt{6}π}{3}$cm²
• C． $\frac{100\sqrt{6}π}{3}$cm²
• D． $\frac{200\sqrt{6}π}{3}$cm²

Answer 1

分析 設(shè)底面半徑為r，用r表示出圓錐的體積，利用函數(shù)思想求出體積的極大值點(diǎn)，代入側(cè)面積公式即可．

解答 解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則h=$\sqrt{2{0}^{2}-{r}^{2}}$，∴圓錐的體積V=$\frac{1}{3}$πr²h=$\frac{1}{3}π$$\sqrt{400{r}^{4}-{r}^{6}}$，
令f（r）=400r⁴-r⁶，∴f′（r）=1600r³-6r⁵，令f′（r）=0，解得r=$\sqrt{\frac{800}{3}}$，
當(dāng)0＜r＜$\sqrt{\frac{800}{3}}$時(shí)，f′（r）＞0，當(dāng)$\sqrt{\frac{800}{3}}$＜r＜20時(shí)，f′（r）＜0．
∴當(dāng)r=$\sqrt{\frac{800}{3}}$時(shí)，f（r）取得最大值，即圓錐的體積取得最大值．
此時(shí)，圓錐的側(cè)面積S=πrl=π×$\sqrt{\frac{800}{3}}$×20=$\frac{400\sqrt{6}π}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，體積與表面積計(jì)算，函數(shù)思想求最值，屬于中檔題．