Question

16．已知$\vec i\;，\;\vec j，\;\vec k$為兩兩垂直的單位向量，$\overrightarrow{AB}=2\vec i+4\vec j-\vec k$，$\overrightarrow{AC}=-2\vec i+\vec j+\vec k$，則$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$夾角的余弦值為-$\frac{\sqrt{14}}{42}$．

Answer 1

分析 根據(jù)向量的夾角公式，代入計(jì)算即可．

解答 解：∵$\vec i\;，\;\vec j，\;\vec k$為兩兩垂直的單位向量，$\overrightarrow{AB}=2\vec i+4\vec j-\vec k$，$\overrightarrow{AC}=-2\vec i+\vec j+\vec k$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=（2$\overrightarrow{i}$+4$\overrightarrow{i}$-$\overrightarrow{k}$）（-2$\overrightarrow{i}$+$\overrightarrow{i}$+$\overrightarrow{k}$）=-4$\overrightarrow{i}$²-$\overrightarrow{k}$²+4$\overrightarrow{i}$²+4$\overrightarrow{i}•\overrightarrow{k}$-6$\overrightarrow{i}•\overrightarrow{j}$+3$\overrightarrow{k}•\overrightarrow{j}$=-4-1+4=-1，
∴|$\overrightarrow{AB}$|²=（2$\overrightarrow{i}$+4$\overrightarrow{i}$-$\overrightarrow{k}$）²=4$\overrightarrow{i}$²+$\overrightarrow{k}$²+16$\overrightarrow{i}$²-4$\overrightarrow{i}•\overrightarrow{k}$+16$\overrightarrow{i}•\overrightarrow{j}$-8$\overrightarrow{k}•\overrightarrow{j}$=4+1+16=21，
|$\overrightarrow{AC}$|²=（-2$\overrightarrow{i}$+$\overrightarrow{i}$+$\overrightarrow{k}$）²=4$\overrightarrow{i}$²+$\overrightarrow{k}$²+$\overrightarrow{i}$²-4$\overrightarrow{i}•\overrightarrow{k}$-4$\overrightarrow{i}•\overrightarrow{j}$+2$\overrightarrow{k}•\overrightarrow{j}$=4+1+1=6，
∴|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{21}$，|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{6}$，
∴cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}$=$-\frac{{\sqrt{14}}}{42}$，
故答案為：-$\frac{\sqrt{14}}{42}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算和向量的夾角公式，屬于中檔題．