Question

11．在△ABC中，a²+b²-ab=c²=$\sqrt{3}$absinC，試確定△ABC的形狀．

Answer 1

分析 由題意得a²+b²-ab=c²，利用余弦定理和內(nèi)角的范圍求出C，再由題意和三角形的面積公式化簡c²=$\frac{3}{2}$ab，利用a²+b²-ab=$\frac{3}{2}$ab，易求a=²b或b=²a，與c²=$\frac{3ab}{2}$結(jié)合，即可判斷△ABC是直角三角形．

解答 解：由題意得，a²+b²-ab=c²，則a²+b²-c²=ab，①
由余弦定理得，cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
因為0＜C＜π，所以C=$\frac{π}{3}$，
因為c²=$\sqrt{3}$absinC，所以c²=$\sqrt{3}$×ab×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3ab}{2}$，②
則以a²+b²-ab=$\frac{3}{2}$ab，解得：a=2b，或b=2a，代入②時，可得：c²=3b²，或c²=3a²，
所以可得，b²+c²=a²，或a²+c²=b²，
由勾股定理可得△ABC是直角三角形．

點評 本題主要考查了執(zhí)行了的，余弦定理，三角形的面積公式，內(nèi)角的范圍，考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．