Question

1．已知一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列{a_n}的每一項(xiàng)都等于它以后各項(xiàng)和的k倍，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，-2]∪（0，+∞）．

Answer 1

分析 無(wú)窮等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)和為A，前n項(xiàng)和為S_n，公比為q，0＜|q|≤1，q≠1．可得A=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，由題意可得：a_n=k（A-S_n），代入化為：k=$\frac{q（1-q）}{{q}^{n}}$，分類(lèi)討論即可得出．

解答 解：無(wú)窮等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)和為A，前n項(xiàng)和為S_n，公比為q，0＜|q|≤1，q≠1．
則A=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
由題意可得：a_n=k（A-S_n），
∴a₁q=k（$\frac{{a}_{1}}{1-q}$-$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$），
化為：k=$\frac{q（1-q）}{{q}^{n}}$，
1＞q＞0時(shí)，k＞0，n→+∞時(shí)，k→+∞．
-1≤q＜0時(shí)，可得：n為偶數(shù)時(shí)，k∈（-∞，-2]；n為奇數(shù)時(shí)，k＞0．
∴k∈（-∞，-2]∪（0，+∞）．
綜上可得：k∈（-∞，-2]∪（0，+∞）．
故答案為：（-∞，-2]∪（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、極限性質(zhì)，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．