Question

7．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，其圖象關于點M（$\frac{3}{4}$π，0）對稱，且在區(qū)間[0，π]上是單調(diào)函數(shù)，則ω=$\frac{2}{3}$，φ=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性和對稱性進行求解即可．

解答 解：∵f（x）是R上的偶函數(shù)，0≤φ≤π，
∴φ=$\frac{π}{2}$，
則f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{2}$）=cosωx，
∵f（x）圖象關于點M（$\frac{3}{4}$π，0）對稱，
∴f（$\frac{3}{4}$π）=cos（$\frac{3}{4}$πω）=0，
即$\frac{3}{4}$πω=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
即ω=$\frac{2}{3}$+$\frac{4}{3}$k，k∈Z，
∵f（x）在區(qū)間[0，π]上是單調(diào)函數(shù)，
∴$\frac{T}{2}≥π$，即$\frac{π}{ω}≥π$，
∴0＜ω≤1，
即當k=0時，ω=$\frac{2}{3}$，
故答案為：$\frac{2}{3}$，$\frac{π}{2}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解，根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性和對稱性是解決本題的關鍵．