Question

14．設(shè)A={y|y=x²+2x+4，x∈R}，b={y|y=ax²-2x+4a，x∈R}
（1）若A⊆B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若A∪B=R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)榧�合A和B都與二次函數(shù)有關(guān)，所以通過(guò)二次函數(shù)圖象可尋找到解題思路．還要注意這里出現(xiàn)了字母a作二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)，所以還要對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論．
（2）A∪B=R，則B中二次函數(shù)的開(kāi)口方向必須向下，且函數(shù)值的最小值不小于3．

解答 解：（1）①當(dāng)a=0時(shí)，B={y|y=ax²-2x+4a}={y|y=-2x}=R，此時(shí)A⊆B，
∴a=0符合題意；
②當(dāng)a≠0時(shí)，如圖所示．表示集合A中二次函數(shù)的圖象．
又∵A⊆B，∴B中二次函數(shù)的開(kāi)口方向必須向上．
③當(dāng)a＞0，且函數(shù)值的最小值不大于3，即$\frac{16{a}^{2}-4}{4a}$≤3時(shí)，解得-$\frac{1}{4}$≤a≤1，
綜合①②③可得0≤a≤1．
（2）A∪B=R，則B中二次函數(shù)的開(kāi)口方向必須向下，且函數(shù)值的最小值不小于3，即$\frac{16{a}^{2}-4}{4a}$≥3時(shí)，解得-$\frac{1}{4}$≤a≤1，
∴$\frac{1}{4}$≤a＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查集合的包含關(guān)系，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．